拓扑声子的物理量与性质

拓扑几何

拓扑学研究在连续变化中保持不变的几何性质，这是一种反映全局特征的数学工具。
例如，表面的 Gauss 曲率 $K$ 是一种描述局部几何性质的量，通过以下 Gauss-Bonnet 定理将其与全局拓扑特性关联起来：

\[\int_S K \, d^2r = 4\pi (1-\text{genus}),\]

其中，$\text{genus}$（亏格）表示几何体上的孔洞数。例如，球体的亏格为 $0$，而环面（如甜甜圈）的亏格为 $1$。

拓扑物理

拓扑物理主要研究动量空间中的拓扑特性。在周期性晶格中，电子态可以用以下定态薛定谔方程描述：

\[H|\varphi\rangle = E|\varphi\rangle,\]

其中 $H$ 是体系的哈密顿量，$E$ 是电子的能量本征值，$\vert\varphi\rangle$ 是对应的本征态。通过求解该方程，可以获得能带结构，即电子的能量与动量的关系。

传统能带理论主要关注电子的能量本征值，而拓扑物理的重要贡献在于揭示波函数中隐藏的拓扑信息，即电子波函数的拓扑结构。例如，在 量子霍尔效应中，体系的时间反演对称性被破坏，陈数 $C \neq 0$。基于不同的对称性，研究者已构建出许多拓扑材料体系，如谷霍尔效应、拓扑晶体绝缘体，以及无能隙的拓扑半金属态，包括 Dirac 态、Weyl 态、节点线和三重拓扑简并点等。

拓扑声子

声子由于不具备电荷和自旋属性，其拓扑性的研究起步较晚。传统上，声子研究主要关注其粒子性质（色散与散射）以及波动性质（相干效应）。近年来，受声子-电子类比的启发，研究者在声子体系中观察到了许多新的输运现象，如 声子热霍尔效应。

在声子体系中，破坏时间反演对称性较为困难。对于具有时间反演对称的晶体，其原子振动可用基于牛顿定律的动力学方程描述。在简谐近似下，声子特征方程可写为：

\[\boldsymbol{D}(\boldsymbol{k}) \boldsymbol{u}(\boldsymbol{k}) = \omega^2(\boldsymbol{k}) \boldsymbol{u}(\boldsymbol{k}),\]

其中，$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{k})$ 为声子本征态，$\omega(\boldsymbol{k})$ 为声子频率。传统研究仅关注本征值，得到声子色散关系和态密度，而拓扑声子研究则进一步挖掘本征态中隐含的波函数拓扑信息。

声子体系中的拓扑物理量

通过声子本征态的波函数，可以定义拓扑物理量：

贝里联络：
\[A_{s,\boldsymbol{k}} = \text{i} \langle u_{s\boldsymbol{k}} | \nabla_{\boldsymbol{k}} | u_{s\boldsymbol{k}} \rangle,\]
描述动量空间中波函数的几何性质。
贝里曲率：
\[\Omega_{s,\boldsymbol{k}} = \nabla_{\boldsymbol{k}} \times A_{s,\boldsymbol{k}},\]
是贝里联络的旋度，表征波函数在动量空间中的局部拓扑结构。
贝里相位：
\[\gamma_s = \int_L A \cdot d\boldsymbol{k},\]
是贝里联络沿特定路径或环路的积分。
陈数：
对于三维体系中的声子，陈数定义为动量空间中包含该点的闭合曲面上的积分：
\[C = \frac{1}{2\pi} \oint \Omega_{s,\boldsymbol{k}} d^2\boldsymbol{k}.\]

由于声子不具有自旋 $1/2$ 属性，无法直接应用量子自旋霍尔态的理论。电子体系中的量子自旋霍尔态可视为两组具有相反陈数的量子霍尔态，其总陈数在时间反演对称下为 $0$。而在声子体系中，可以利用晶格对称性实现双重甚至多重简并，构造出类自旋的赝自旋，为拓扑声子研究提供了新思路。

在经典的声子输运研究中，晶格对称性用于分析声子散射通道，简化力常数计算；而从拓扑声子的角度，晶格对称性主要用于确定声子的简并性和对声子分支进行分类。

在材料的边界或界面处，拓扑声子可以形成特殊的边界态。这些边界态源自材料固有的拓扑不变量（如陈数或贝里曲率），能够沿着不受散射影响的通道传播。这种稳定性被称为 拓扑保护机制。

拓扑声子的色散关系也具有独特特性。在某些特定频率范围内，声子的传播更加顺畅，而在其他频率范围内，声子可能被抑制。