众所周知，正常过程（即保持总晶格动量守恒的散射过程）本身无法导致有限的热导率。因此，不能简单地将正常过程（N 过程）的倒数弛豫时间与那些不守恒晶体力学动量的过程相加。后一类过程的例子包括 Umklapp 过程、杂质散射和边界散射（本文将把所有这类破坏动量的过程统称为 R 过程）。
考虑声子模态 $\lambda \equiv (\mathbf{q}, j)$，有：
平衡 Bose–Einstein 分布记为 $n_{\lambda}^{(0)}$：
\[n_{\lambda}^{(0)}(T) = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_\lambda/k_B T\right) - 1}.\]在温度梯度 $\nabla T$ 存在时，实际占据写成
\[n_\lambda = n_{\lambda}^{(0)} + n_{1,\lambda}, \qquad |n_{1,\lambda}|\ll n_{\lambda}^{(0)}.\]散射分两大类（Callaway 核心思想）：
关键：N 过程本身不会产生有限热阻，它只是让声子气体形成一种“整体漂移”的平衡态，而真正耗散热流的是 R 过程。
稳态、只有温度梯度驱动时，线性化的 BTE 可以写为：
\[\mathbf{v}_\lambda \cdot \nabla T \,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} = \left(\frac{\partial n_\lambda}{\partial t}\right)_{\\text{coll}}. \tag{1}\]Callaway 把碰撞项拆成两部分：
\[\left(\frac{\partial n_\lambda}{\partial t}\right)_{\\text{coll}} = -\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(d)}}{\tau_{N,\lambda}} -\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{R,\lambda}}. \tag{2}\]所谓“位移普朗克分布”（displaced Planck）为：
\[n_{\lambda}^{(d)} = \left[ \exp\left( \frac{\hbar\omega_\lambda - \boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda}{k_B T} \right) -1 \right]^{-1}, \tag{3}\]其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是一个小矢量，表示声子系统的“整体漂移”，方向与 $\nabla T$ 一致。
引入无量纲变量：
\[x_\lambda = \frac{\hbar\omega_\lambda}{k_B T}.\]对式 (3) 按 $\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda$ 做一阶泰勒展开：
\[n_{\lambda}^{(d)} \simeq n_{\lambda}^{(0)} + \frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial(\hbar\omega_\lambda)}\, (\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda). \tag{4}\]把能量导数换成温度导数：
\[n_{\lambda}^{(d)} \simeq n_{\lambda}^{(0)} - \frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T}\, \frac{\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda}{k_B T}. \tag{5}\]把
\[n_\lambda = n_{\lambda}^{(0)} + n_{1,\lambda}\]和式 (5) 代入 BTE (1)、碰撞项 (2)，只保留一阶小量： 左边：
\[\mathbf{v}_\lambda \cdot \nabla T \,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T}.\]右边：
\[-\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(d)}}{\tau_{N,\lambda}} -\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{R,\lambda}} = -\left(\frac{1}{\tau_{N,\lambda}}+\frac{1}{\tau_{R,\lambda}}\right)n_{1,\lambda} + \frac{n_{\lambda}^{(d)}-n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{N,\lambda}}.\]于是得到
\[\mathbf{v}_\lambda \cdot \nabla T \,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} = -\left(\frac{1}{\tau_{N,\lambda}}+\frac{1}{\tau_{R,\lambda}}\right)n_{1,\lambda} + \frac{n_{\lambda}^{(d)}-n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{N,\lambda}}. \tag{6}\]定义组合弛豫时间（“合并 N+R”）：
\[\frac{1}{\tau_{c,\lambda}} = \frac{1}{\tau_{N,\lambda}}+\frac{1}{\tau_{R,\lambda}}. \tag{7}\]从而解出 $n_{1,\lambda}$：
\[n_{1,\lambda} = \tau_{c,\lambda}\,\mathbf{v}_\lambda\cdot\nabla T\, \frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} + \frac{\tau_{c,\lambda}}{\tau_{N,\lambda}}\left(n_{\lambda}^{(d)}-n_{\lambda}^{(0)}\right). \tag{8}\]再把 (5) 代入：
\[n_{1,\lambda} = \tau_{c,\lambda}\,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} \left[ \mathbf{v}_\lambda\cdot\nabla T - \frac{\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda}{k_B T} \frac{1}{\tau_{N,\lambda}} \right]. \tag{9}\]解释一下：
- 第一项：RTA 形式，只不过弛豫时间换成了合成的 $\tau_c$；
- 第二项：多出来的“$\boldsymbol{\Lambda}$”修正，完全来自 N 过程守动量 的约束。
物理条件：正常过程不改变晶格总动量，所以
\[\sum_\lambda \hbar \mathbf{k}_\lambda \left(\frac{\partial n_\lambda}{\partial t}\right)_{N} = -\sum_\lambda \hbar \mathbf{k}_\lambda \frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(d)}}{\tau_{N,\lambda}} =0. \tag{10}\]在一维温度梯度条件下，$\boldsymbol{\Lambda}$ 与 $\nabla T$ 共线，我们写成
\[\boldsymbol{\Lambda} = -\beta\,\nabla T, \tag{11}\]其中 $\beta$ 是一个“有效时间”参数（标量）。
把 (9) 和 (11) 代入 (10)，并利用
\[C_\lambda = \hbar\omega_\lambda\,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T}\]是模态比热，经过代数运算，可以得到 $\beta$ 的离散求和形式：
\[\beta = \frac{ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2\,\tau_{c,\lambda}^2/\tau_{N,\lambda} }{ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2 \left(1-\tau_{c,\lambda}/\tau_{N,\lambda}\right) }. \tag{12}\]这一条是整个 Callaway 模型的“关键锁”，把漂移强度 $\beta$ 和各模态的 $\tau_N, \tau_R$ 联系起来。
热流沿 $x$ 方向：
\[J_x = \frac{1}{V}\sum_\lambda \hbar\omega_\lambda v_{\lambda x}\,n_{1,\lambda}.\]满足傅里叶定律：
\[J_x = -\kappa\,\frac{\partial T}{\partial x}.\]把 (9) 和 (11) 代入，整理后可以把热导率拆成两部分：
\[\kappa = \kappa_1 + \kappa_2.\]这一项就是“常规 RTA 形式”，只不过 $\tau \to \tau_c$：
\[\kappa_1 = \frac{1}{V} \sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2 \tau_{c,\lambda}. \tag{13}\]当没有 N 过程时（$\tau_{N,\lambda}\to\infty$），$\tau_{c,\lambda} \to \tau_{R,\lambda}$，这个式子就退化成我们熟悉的 RTA 热导率。
正常过程导致的修正可以写成：
\[\kappa_2 = \frac{1}{V} \frac{ \left[ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2\,\tau_{c,\lambda}^2/\tau_{N,\lambda} \right]^2 }{ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2 \left(1-\tau_{c,\lambda}/\tau_{N,\lambda}\right) }. \tag{14}\]直观理解：
- 分子：类似“所有模态上 N 过程参与的 漂移贡献 的加权和”的平方；
- 分母：类似“R 过程把这种漂移拉回来的总强度”；
- 当 R 很强、N 很弱时，这个修正就被压扁，$\kappa_2\to 0$；
- 当 N 占主导、R 很弱时，$\kappa_2$ 会显著抬高，总热导率大幅增强。
BTE 出发点：
温度梯度让声子分布偏离平衡，碰撞项把系统往某个“平衡态”拉回去。
[1] Phys. Rev. 113, 1046–1051 (1959).
[2] Phys. Rev. B 88, 144302 (2013).
[3] Phys. Rev. B 90, 035203 (2014).