Wigner 输运方程 (WTE) 统一声子热传导的理论框架

在固体中，热量的主要载体是声子。几十年来，研究者提出了两种经典理论来解释不同材料中的声子热输运：

• 在晶体中，声子像小球一样飞行和散射，热传导由 Peierls–Boltzmann 方程 (BTE) 描述。
• 在玻璃中，声子失去了“粒子”特征，振动模式局域化，热流依靠不同模态之间的 相干隧穿扩散，这就是 Allen–Feldman (AF) 方程 的物理图像。

然而，在实际的复杂材料中，粒子机制和波动机制往往同时存在。传统的 BTE 和 AF 模型各自只适用于一个极端，缺乏统一。
Wigner 输运方程 (WTE) 的提出，正是为了在一个量子相空间的框架下，把两种极端情况都纳入进来，从而实现统一描述。

Peierls–Boltzmann 方程

BTE: 声子像小球一样传播

适用体系：长程有序的晶体，声子能带分离明显、模态清晰。

声子可以被看作局域波包，就像一个个小球在空间中飞行，它们具有明确的群速度，在传播过程中不断被散射。

线性化 BTE：

\[\partial_t f_{\mathbf q s} + \mathbf v_{\mathbf q s}\cdot\nabla_{\mathbf r} f_{\mathbf q s} = -\frac{f_{\mathbf q s} - f^{\text{eq}}_{\mathbf q s}}{\tau_{\mathbf q s}}\]

• $f_{\mathbf q s}$：声子占据函数
• $\mathbf v_{\mathbf q s} = \nabla_{\mathbf q}\omega_{\mathbf q s}$：群速度
• $\tau_{\mathbf q s}$：弛豫时间

热导率表达式（RTA 形式）：

\[\kappa_{\alpha\beta}^{\mathrm{BTE}} = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf q s} C_{\mathbf q s}\, v_{\mathbf q s,\alpha}\, v_{\mathbf q s,\beta}\, \tau_{\mathbf q s},\]

Allen–Feldman 方程

AF: 能量不再依靠“小球飞行”，而是通过一个“音叉”带动另一个“音叉”的共振来传递。

适用体系：玻璃和无序固体。

在玻璃中，振动模式高度局域化，几乎没有有效的群速度。能量不是靠“声子小球”传播，而是通过不同局域态之间的 隧穿/共振 逐步扩散：

• 振动态之间能量间隔极小（准简并），彼此可以耦合。
• 类比为“一排音叉”：频率接近时，敲响一个音叉，相邻音叉会被带动，能量逐步传递下去。

数学表达：

\[\kappa_{\text{AF}} = \frac{\pi}{V} \sum_{i\neq j} (n_i - n_j)\, |\langle i | \hat v | j \rangle|^2 \, \delta(\omega_i - \omega_j)\]

• $\hat v$：热流（速度）算符
• $\delta(\omega_i - \omega_j)$：能量守恒，只有准简并态才能相互耦合

Wigner 输运方程

WTE: 把“小球”和“音叉”放在同一舞台上的“总导演”

从量子力学的 一体密度矩阵 出发，经过 Wigner 变换，可以在相空间（动量 $\mathbf q$ 和实空间 $\mathbf R$）中得到一个分布函数：

\[n_{s,s'}(\mathbf q, \mathbf R, t)\]

对角元($s=s’$) ：(populations)，对应类粒子机制，类似 BTE。
非对角元($s\neq s’$) ：(coherences)，对应波动机制，类似 AF。

WTE 的独特之处在于，它既关注声子的数量，又捕捉不同声子态之间的相干性。

WTE 的通式为：

\[\frac{\partial}{\partial t} n_{s,s'} + i(\omega_{\mathbf q s}-\omega_{\mathbf q s'})\,n_{s,s'} + \tfrac{1}{2}\{\mathbf v(\mathbf q), \nabla_{\mathbf R} n\}_{s,s'} = \left.\frac{\partial n}{\partial t}\right|_{\text{scatt}}\]

其中：

• 第一项：时间演化（动力学变化）
• 第二项：相干振荡（波动性机制）
• 第三项：漂移项（粒子传播）
• 右端：散射项（非简谐效应）

在晶体极限：模态分离大（$\Delta \omega \gg 1/\tau$），相干项快速振荡并平均掉，WTE → BTE。

在玻璃极限：模态准简并（$\Delta \omega \ll 1/\tau$），粒子项无效，WTE → AF。

在复杂晶体/中间态：$\Delta \omega \sim 1/\tau$，粒子与波动贡献不可分割，WTE 给出

\[\kappa = \kappa_P + \kappa_C\]

• 粒子项（populations）：在弱带间耦合近似下可写成与 BTE 类似的形式，

  \[\kappa_{\alpha\beta}^{P} \simeq \frac{1}{V}\sum_{\mathbf q s} C_{\mathbf q s}\, v_{\mathbf q s,\alpha}\, v_{\mathbf q s,\beta}\, \tilde{\tau}_{\mathbf q s},\]

  其中 $\tilde{\tau}{\mathbf q s}\approx \big(2\Gamma{\mathbf q s}\big)^{-1}$ 与谱线宽 $\Gamma_{\mathbf q s}$（由非简谐/同位素散射等给出）相关，体现 WTE 中对“粒子寿命”的谱学修正。

• 相干项（coherences）：刻画准简并模态间的波动耦合/隧穿，常见的频域洛伦兹型表达可写为

  \[\kappa_{\alpha\beta}^{C} \simeq \frac{1}{V}\sum_{\mathbf q}\!\!\sum_{s\neq s'} \frac{\big[\hbar(\omega_{\mathbf q s}+\omega_{\mathbf q s'})/2\big]\, \partial_T n^{\mathrm{eq}}_{\bar{\omega}}} {(\omega_{\mathbf q s}-\omega_{\mathbf q s'})^{2} +(\Gamma_{\mathbf q s}+\Gamma_{\mathbf q s'})^{2}}\, (v_{\alpha})_{s s'}(v_{\beta})_{s' s}\, \big(\Gamma_{\mathbf q s}+\Gamma_{\mathbf q s'}\big),\]

  其中 $(v_{\alpha})_{ss’}$ 是速度算符在模态基上的非对角元（决定相干耦合强度），$\bar{\omega}$ 为两模态频率的适当平均，用 $\Gamma$ 控制“相干退相位/去相干”的宽度。 该式体现了 带模态间频差越小、非对角速度算符越大、线宽适中时，相干导热越显著 的特点。

三者的关系与统一

• BTE 极限：当能带分离远大于线宽时，相干效应可以忽略，WTE 自动退化为 BTE。
• AF 极限：在无序极限下，WTE 退化为 AF 方程。
• 复杂晶体与中间情况：当能带间距和声子谱线宽度相当时，BTE 与 AF 都不足以描述，WTE 则能同时捕捉布居数和相干态的贡献，给出完整的热导率。

因此，WTE 不仅是数学上的统一，更是物理图像上的桥梁。

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参考文献：

[1] Nat. Phys. 15, 809–813 (2019)

[2] Phys. Rev. X. 12, 041011 (2022)