热物理的微观描述
传热学中的宏观能量守恒方程描述了热能的储存、传输（传导 $k$、对流 $u$ 和辐射 $r$）以及热能与其他形式能量之间的转换。
能量守恒方程
\[\nabla\cdot \boldsymbol q=-\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}+\sum_{i,j}\dot s_{i-j}, \nabla\cdot \boldsymbol q=\frac{\int_{\Delta A}(\boldsymbol q\cdot\boldsymbol s_{\boldsymbol n})dA}{\Delta V \to 0}\]其中，$\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}$ 称为显热储存项，$\dot s_{i-j}$ 为能量载流子 $i$ 和 $j$ 之间相互作用导致的能量转换速率，由其性质和相互作用频率决定。
热流矢量 $\boldsymbol q$ 为传导、对流和辐射热流矢量之和：
\[\boldsymbol q = \boldsymbol q_k + \boldsymbol q_u + \boldsymbol q_r\]传导热流矢量 $\boldsymbol q_k$ 为热导率 $k$ 与温度梯度 $\nabla T$ 的负乘积，遵循傅里叶定律：
\[\boldsymbol q_k = -k\nabla T\]对流热流矢量 $\boldsymbol q_u$ 为 $\rho c_p$、局部速度矢量 $\boldsymbol u$ 和温度 $T$ 的乘积：
\[\boldsymbol q_u = \rho c_p\boldsymbol u T\]辐射热流矢量 $\boldsymbol q_r$ 为单位矢量 $\boldsymbol s$ 与方向光谱强度 $I_{ph,\omega}$ 乘积在空间和电磁波谱上的积分：
\[\boldsymbol q_r = 2\pi\int_0^\infty\int_{-1}^1\boldsymbol s I_{ph,\omega}d\mu d\omega\]主要能量载流子
四类能量载流子——声子（$p$）、电子（$e$）、流体粒子（$f$）和光子（$ph$）——构成热能储存、传输和相互作用的微观基础。
声子
- 声子是刚性原子晶格中量子化的振动模式。
- 长波长声子引起固体中的声音传播，因此得名”声子”。
- 声子决定了材料的许多物理性质，包括比热容和热导率/电导率（声子在绝缘体中传输热量）。
- 在经典力学中，晶格振动可分解为非局域简正模式。
- 在量子力学中，这些模式表现出粒子行为——因此声子是准粒子。
- 作为粒子，声子是自旋为零的玻色子，其能量 $E_p=\hbar\omega_p$ 为动能和势能之和。
- 声子分为两类：声学支（$A$）和光学支（$O$）。
- 声学声子的频率随波长增大而降低，对应晶格声波。纵波和横波分别记为 $LA$ 和 $TA$。
- 光学声子出现在每个单胞含多个原子的晶格中，在离子晶体中可被光激发：$LO$ 和 $TO$ 分别表示纵波和横波类型。
电子
- 电子是自旋为 $1/2$ 的带负电亚原子粒子——属于费米子。
- 电子的反粒子是正电子，质量和自旋相同但电荷相反。
- 电子同时具有波动性和粒子性，因此是准粒子。
- 束缚电子表现为驻波，可在实验中观测。
- 固体中的电子包括芯电子和外层电子。芯电子束缚紧密，不参与成键。
- 外层电子包括传导电子和价电子，距原子核较远。
- 量子力学中，电子由狄拉克方程描述。
- 其能量包括势能（结合能）和动能（与速度相关）。
流体粒子
- 气体和液体由原子或分子（流体粒子）组成，可以带电或不带电，处于随机运动状态。
- 其能量包括势能、电子能和动能分量。
- 在理想气体中，粒子碰撞为弹性碰撞，分子间力可忽略。
- 理想气体的 Maxwell–Boltzmann 分布可通过统计力学和能量对称性原理推导。
- 液体粒子具有足够的动能来拉伸但不能克服分子间力。随着温度升高，它们获得足够能量而成为气体。
光子
- 光子是电磁场的量子激发，属于粒子物理标准模型。
- 量子力学中，光子具有波动特性。
- 虽然光子的静止质量为零，但携带有限能量并受引力影响（相对论效应）。
- 光子是自旋为 1 的玻色子，具有圆偏振特性。
- 电磁场由频率 $f_{ph}$、波长 $\lambda_{ph}$ 和速度 $u_{ph}$ 表征的单色平面波组成。
- 量子能量：$E_{ph} = \hbar \omega_{ph}$；动量：$\boldsymbol p_{ph} = \hbar \boldsymbol\kappa_{ph}$。
- 真空中，光子色散为线性——与普朗克常数成正比。
- 物质激发具有非线性色散，传播速度低于光速。
能量分布函数
在多粒子系统中，观测到的宏观态（系综平均）通过概率（能量分布函数）与每个粒子的微观态（位置和动量）联系起来：
\[\left \langle \phi \right \rangle=\sum_if_i\phi_i\]概率分布函数决定了载流子的能量和输运特性，可用于建模温度相关的晶格和电子比热容、气体动能以及黑体辐射。
平衡分布 $f_i^0$ 描述无扰动时微观态的最可能分布：
- Bose–Einstein 分布（声子、光子）
- Fermi–Dirac 分布（电子）
- Maxwell–Boltzmann 分布（理想气体分子）
对平衡态的偏离是载流子输运的基础——玻尔兹曼输运理论。
粒子、波与准粒子
粒子
粒子是离散的；其能量局域在有限区域。要到达不同位置，粒子必须按运动学规律移动。
相互作用遵循简单规则，如弹性碰撞中的能量和动量守恒。未受扰动时，粒子做弹道运动。
波
波不是有限实体。其能量分布在空间和时间中。波可以无限传播，通过相位分析可得其速度。波由频率和波长描述。
准粒子
准粒子（声子、电子、光子）同时表现出粒子性和波动性，描述为波包——不同波长的平面波的叠加。
这种双重性质称为波粒二象性。
粒子与波的经典区分在准粒子上变得模糊。其行为既包含波动理论，也包含粒子理论。
对传热物理学的贡献
热是分子运动所表现的一种能量形式，通过传导（声子、电子、流体粒子）、对流（流体粒子）和辐射（光子）在物体间传递。
关键物理学奠基人：
- 玻尔兹曼：提出比热容、熵和热力学源于原子运动；引入玻尔兹曼常数 $k_B$，共同发展了能量均分定理。
- 麦克斯韦：创立光的电磁理论；对气体动理论、分子物理学和热力学作出重要贡献。
- 普朗克：发现能量是量子化的，提出离散能量量子 $h\nu$。
- 玻尔：提出原子吸收/发射与能级差匹配的量子能量。
- 泡利：提出泡利不相容原理：不能有两个电子占据相同状态。
- 薛定谔：推导出波函数（概率波）方程，奠定了量子波动力学基础。
- 费米：与狄拉克共同发展了遵循泡利原理的粒子统计方法——费米统计。
- Green & Kubo：发展了输运系数的涨落-耗散定理。
- Ziman：将变分法应用于声子输运。
- Callaway & Holland：通过单模弛豫时间模型计算晶格热导率。
基本常数与精细结构尺度
玻尔兹曼常数
\[k_\text B=1.38065\times10^{-23} ~ \text J/\text K\]将载流子（声子、电子、光子、流体）的平均热能与绝对温度 $T$ 联系起来。
用于归一化载流子能量：$k_\text BT$。
在统计力学中：熵 $S=k_\text BN\ln Z$，其中 $Z$ 为配分函数。
在动理论中：每个自由度的能量为 $k_\text BT/2$（能量均分）。
普朗克常数
\[h=6.626069\times10^{−34} ~ \text J\cdot \text s\]在量子力学中：能量 = 频率 $\times$ $h$。
约化普朗克常数：$\hbar = h/2\pi$。
使物理量量子化，出现在海森堡不确定性原理中：$\Delta p_x \Delta x \le \hbar/2$。
原子单位
四个常数定义原子单位：$\hbar$、$m_e$、库仑常数 $1/4\pi\varepsilon_0$、电子电荷 $e_c$。
- 原子长度：
- 原子时间：
- 原子能量：
- 原子速度：
- 原子偶极矩：
参考文献：
Kaviany M. Heat Transfer Physics, 2008