声子热传导的统一理论框架（WTE）
在固体中，热的主要载流子是声子。几十年来，研究者提出了两种经典理论来解释不同材料中的声子热输运：
- 在晶体中，声子表现得像飞行和散射的小粒子，热传导由 Peierls–Boltzmann 方程（BTE） 描述。
- 在非晶中，声子失去”粒子”特征，振动模式局域化，热流通过不同模式间的相干隧穿扩散进行。这是 Allen–Feldman（AF）方程 背后的物理图像。
然而，在实际的复杂材料中，类粒子和类波动机制往往共存。传统的 BTE 和 AF 模型各只适用于一个极端情况，缺乏统一描述。 Wigner 输运方程（WTE） 的提出正是为了将两个极限纳入同一个量子相空间框架，从而提供统一描述。
Peierls–Boltzmann 方程
BTE：声子像小粒子一样传播
适用体系：长程有序晶体，声子带间距分明，模式定义清晰。
声子可视为局域波包，像小粒子在空间中飞行，具有明确的群速度，在传播过程中发生散射。
线性化 BTE：
\[\partial_t f_{\mathbf q s} + \mathbf v_{\mathbf q s}\cdot\nabla_{\mathbf r} f_{\mathbf q s} = -\frac{f_{\mathbf q s} - f^{\text{eq}}_{\mathbf q s}}{\tau_{\mathbf q s}}\]- $f_{\mathbf q s}$：声子占据函数
- $\mathbf v_{\mathbf q s} = \nabla_{\mathbf q}\omega_{\mathbf q s}$：群速度
- $\tau_{\mathbf q s}$：弛豫时间
RTA 形式的热导率：
\[\kappa_{\alpha\beta}^{\mathrm{BTE}} := \frac{1}{V}\sum_{\mathbf q s} C_{\mathbf q s}\, v_{\mathbf q s,\alpha}\, v_{\mathbf q s,\beta}\, \tau_{\mathbf q s},\]Allen–Feldman 方程
AF：能量不再由”飞行的粒子”携带，而是由一个”音叉”驱动另一个产生共振来传递。
适用体系：非晶和无序固体。
在非晶中，振动模式高度局域化，几乎没有有效的群速度。能量不是通过”声子粒子”输运，而是通过不同局域态之间的隧穿/共振耦合扩散：
- 振动态之间的能量间距极小（准简并），可以相互耦合。
- 这可以类比为”一排音叉”：当频率接近时，敲击一个音叉可以带动邻近的音叉振动，能量逐步传递。
数学表达式：
\[\kappa_{\text{AF}} = \frac{\pi}{V} \sum_{i\neq j} (n_i - n_j)\, |\langle i | \hat v | j \rangle|^2 \, \delta(\omega_i - \omega_j)\]- $\hat v$：热流（速度）算符
- $\delta(\omega_i - \omega_j)$：能量守恒；只有准简并态才能相互耦合
Wigner 输运方程
WTE：将”粒子”和”音叉”同时搬上同一个舞台的”导演”
从量子力学的单体密度矩阵出发，进行 Wigner 变换，得到相空间（动量 $\mathbf q$ 和实空间 $\mathbf R$）中的分布函数：
\[n_{s,s'}(\mathbf q, \mathbf R, t)\]对角元素（$s=s’$）：占据数，对应类粒子机制，类似 BTE。 非对角元素（$s\neq s’$）：相干项，对应类波动机制，类似 AF。
WTE 的独特之处在于它不仅追踪声子数目，还追踪不同声子态之间的相干性。
WTE 的一般形式为：
\[\frac{\partial}{\partial t} n_{s,s'} + i(\omega_{\mathbf q s}-\omega_{\mathbf q s'})\,n_{s,s'} + \tfrac{1}{2}\{\mathbf v(\mathbf q), \nabla_{\mathbf R} n\}_{s,s'} = \left.\frac{\partial n}{\partial t}\right|_{\text{scatt}}\]其中
- 第一项：时间演化（动力学变化）
- 第二项：相干振荡（类波动机制）
- 第三项：漂移项（粒子输运）
- 右侧：散射项（非谐波效应）
在晶体极限下：带间距大（$\Delta \omega \gg 1/\tau$），相干项快速振荡并平均为零，WTE → BTE。
在非晶极限下：模式准简并（$\Delta \omega \ll 1/\tau$），粒子项失效，WTE → AF。
在复杂晶体/中间区：$\Delta \omega \sim 1/\tau$，粒子和波动贡献不可分离，WTE 给出
\[\kappa = \kappa_P + \kappa_C\]-
粒子项（占据数）：在弱带间耦合近似下，可写成类似 BTE 的形式：
\[\kappa_{\alpha\beta}^{P} \simeq \frac{1}{V}\sum_{\mathbf q s} C_{\mathbf q s}\, v_{\mathbf q s,\alpha}\, v_{\mathbf q s,\beta}\, \tilde{\tau}_{\mathbf q s},\]其中 $\tilde{\tau}{\mathbf q s}\approx \big(2\Gamma{\mathbf q s}\big)^{-1}$ 与谱线宽 $\Gamma_{\mathbf q s}$（源于非谐波性、同位素散射等）相关，反映了 WTE 中对”粒子寿命”的谱学修正。
-
相干项（相干性）：表征准简并模式间的类波动耦合/隧穿。频域中常用的洛伦兹型表达式可写为
\[\kappa_{\alpha\beta}^{C} \simeq \frac{1}{V}\sum_{\mathbf q}\!\!\sum_{s\neq s'} \frac{\big[\hbar(\omega_{\mathbf q s}+\omega_{\mathbf q s'})/2\big]\, \partial_T n^{\mathrm{eq}}_{\bar{\omega}}} {(\omega_{\mathbf q s}-\omega_{\mathbf q s'})^{2} +(\Gamma_{\mathbf q s}+\Gamma_{\mathbf q s'})^{2}}\, (v_{\alpha})_{s s'}(v_{\beta})_{s' s}\, \big(\Gamma_{\mathbf q s}+\Gamma_{\mathbf q s'}\big),\]其中 $(v_{\alpha})_{ss’}$ 表示模式基下速度算符的非对角元（决定相干耦合强度），$\bar{\omega}$ 为两个模式频率的适当平均，$\Gamma$ 控制与退相干/消相干相关的宽度。
该表达式表明，模式间的带间距越小、非对角速度矩阵元越大、谱线宽适中，都会增强相干热输运。
三种理论的关系与统一
- BTE 极限：当带间距远大于谱线宽时，相干效应可忽略，WTE 自动退化为 BTE。
- AF 极限：在强无序极限下，WTE 退化为 AF 方程。
- 复杂晶体和中间区：当带间距与声子谱线宽可比时，BTE 和 AF 都不足以描述。WTE 同时捕捉占据数和相干态的贡献，给出完整热导率。
因此，WTE 不仅是一种数学上的统一，更是这些物理图像之间的桥梁。
参考文献：
[1] Nat. Phys. 15, 809–813 (2019)
[2] Phys. Rev. X 12, 041011 (2022)