Callaway 双弛豫时间模型
众所周知，Normal 过程（即守恒总晶体动量的散射过程）本身不能产生有限热导率。因此，不能简单地将 Normal 过程（N 过程）的逆弛豫时间与动量破坏过程（如倒逆过程、杂质散射和边界散射）的逆弛豫时间相加。在整个文章中，所有此类不守恒动量的过程统称为 R 过程。
1. 声子、分布与散射分类
对于声子模式 $\lambda \equiv (\mathbf{q}, j)$，有
- 频率：$\omega_\lambda$
- 群速度：$\mathbf{v}_\lambda$
- 波矢：$\mathbf{k}_\lambda$
平衡 Bose–Einstein 分布为
\[n_{\lambda}^{(0)}(T) = \frac{1}{\exp(\hbar\omega_\lambda/k_B T) - 1}.\]在温度梯度 $\nabla T$ 下，占据数变为
\[n_\lambda = n_{\lambda}^{(0)} + n_{1,\lambda}, \qquad |n_{1,\lambda}|\ll n_{\lambda}^{(0)}.\]散射分为两类——这是 Callaway 模型的核心：
- N 过程（Normal）：守恒总动量；弛豫时间 $\tau_{N,\lambda}$
- R 过程（Resistive）：破坏总动量（倒逆过程、杂质、边界等）；弛豫时间 $\tau_{R,\lambda}$
关键点：N 过程不产生热阻。 它们仅建立声子气体的”漂移”平衡态，而实际的热流耗散由 R 过程主导。
2. BTE 与 Callaway 模型
在稳态下，仅受温度梯度驱动，线性化 BTE 可写为
\[\mathbf{v}_\lambda \cdot \nabla T \,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} := \left(\frac{\partial n_\lambda}{\partial t}\right)_{\text{coll}}. \tag{1}\]Callaway 将碰撞项分为两部分：
\[\left(\frac{\partial n_\lambda}{\partial t}\right)_{\text{coll}} := -\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(d)}}{\tau_{N,\lambda}} -\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{R,\lambda}}. \tag{2}\]- 第一项：N 过程驱使系统趋向偏移平衡态 $n_{\lambda}^{(d)}$
- 第二项：R 过程将系统推回普通平衡 $n_{\lambda}^{(0)}$
“偏移 Planck 分布”为
\[n_{\lambda}^{(d)} := \left[ \exp\left( \frac{\hbar\omega_\lambda - \boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda}{k_B T} \right) -1 \right]^{-1}, \tag{3}\]其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是描述声子系统集体漂移的小矢量，方向与 $\nabla T$ 一致。
3. 偏移分布的一阶展开：从能量导数到温度导数
引入无量纲变量
\[x_\lambda = \frac{\hbar\omega_\lambda}{k_B T}.\]将式 (3) 对 $\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda$ 做一阶展开，得到
\[n_{\lambda}^{(d)} \simeq n_{\lambda}^{(0)} + \frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial(\hbar\omega_\lambda)}\, (\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda). \tag{4}\]将对能量的导数转换为温度导数：
\[n_{\lambda}^{(d)} \simeq n_{\lambda}^{(0)} - \frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T}\, \frac{\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda}{k_B T}. \tag{5}\]4. 线性化 BTE
代入
\[n_\lambda = n_{\lambda}^{(0)} + n_{1,\lambda}\]和式 (5) 到式 (1) 和 (2)，仅保留一阶项。 左侧：
\[\mathbf{v}_\lambda \cdot \nabla T \,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T}.\]右侧：
\[-\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(d)}}{\tau_{N,\lambda}} -\frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{R,\lambda}} := -\left(\frac{1}{\tau_{N,\lambda}}+\frac{1}{\tau_{R,\lambda}}\right)n_{1,\lambda} + \frac{n_{\lambda}^{(d)}-n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{N,\lambda}}.\]因此，
\[\mathbf{v}_\lambda \cdot \nabla T \,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} := -\left(\frac{1}{\tau_{N,\lambda}}+\frac{1}{\tau_{R,\lambda}}\right)n_{1,\lambda} + \frac{n_{\lambda}^{(d)}-n_{\lambda}^{(0)}}{\tau_{N,\lambda}}. \tag{6}\]定义组合弛豫时间（”N+R 组合”）
\[\frac{1}{\tau_{c,\lambda}} := \frac{1}{\tau_{N,\lambda}}+\frac{1}{\tau_{R,\lambda}}. \tag{7}\]求解 $n_{1,\lambda}$：
\[n_{1,\lambda} := \tau_{c,\lambda}\,\mathbf{v}_\lambda\cdot\nabla T\, \frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} + \frac{\tau_{c,\lambda}}{\tau_{N,\lambda}}\left(n_{\lambda}^{(d)}-n_{\lambda}^{(0)}\right). \tag{8}\]代入式 (5)：
\[n_{1,\lambda} := \tau_{c,\lambda}\,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T} \left[ \mathbf{v}_\lambda\cdot\nabla T - \frac{\boldsymbol{\Lambda}\cdot\mathbf{k}_\lambda}{k_B T} \frac{1}{\tau_{N,\lambda}} \right]. \tag{9}\]解释：
- 第一项：类 RTA，只是弛豫时间变为 $\tau_c$。
- 第二项：涉及”$\boldsymbol{\Lambda}$”的修正项，完全源于N 过程的动量守恒。
5. 由 N 过程动量守恒确定漂移参数
物理条件：Normal 过程不改变总晶体动量，因此
\[\sum_\lambda \hbar \mathbf{k}_\lambda \left(\frac{\partial n_\lambda}{\partial t}\right)_{N} := -\sum_\lambda \hbar \mathbf{k}_\lambda \frac{n_\lambda - n_{\lambda}^{(d)}}{\tau_{N,\lambda}} :=0. \tag{10}\]当温度梯度为一维时，$\boldsymbol{\Lambda}$ 与 $\nabla T$ 平行，因此写为
\[\boldsymbol{\Lambda} := -\beta\,\nabla T, \tag{11}\]其中 $\beta$ 为一个”有效时间类参数”。
将式 (9) 和 (11) 代入式 (10)，利用
\[C_\lambda = \hbar\omega_\lambda\,\frac{\partial n_{\lambda}^{(0)}}{\partial T}\]（模式热容量），可得 $\beta$ 的离散求和形式
\[\beta := \frac{ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2\,\tau_{c,\lambda}^2/\tau_{N,\lambda} }{ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2 \left(1-\tau_{c,\lambda}/\tau_{N,\lambda}\right) }. \tag{12}\]这是 Callaway 模型的”锁定机制”，将漂移强度 $\beta$ 与模式弛豫时间 $\tau_N$ 和 $\tau_R$ 联系起来。
6. 总热导率
沿 $x$ 方向的热流为
\[J_x := \frac{1}{V}\sum_\lambda \hbar\omega_\lambda v_{\lambda x}\,n_{1,\lambda}.\]结合傅里叶定律，
\[J_x = -\kappa\,\frac{\partial T}{\partial x},\]由式 (9) 和 (11) 得分解
\[\kappa = \kappa_1 + \kappa_2.\]6.1 第一项：使用组合弛豫时间 $\tau_c$ 的 RTA
该项类似于常规 RTA 表达式，只是将 $\tau$ 替换为 $\tau_c$：
\[\kappa_1 := \frac{1}{V} \sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2 \tau_{c,\lambda}. \tag{13}\]在无 N 过程时（$\tau_{N,\lambda}\to\infty$）， $\tau_{c,\lambda} \to \tau_{R,\lambda}$，式 (13) 退化为熟悉的 RTA 公式。
6.2 第二项：Callaway 修正 $\kappa_2$
由 Normal 过程引起的贡献为
\[\kappa_2 := \frac{1}{V} \frac{ \left[ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2\,\tau_{c,\lambda}^2/\tau_{N,\lambda} \right]^2 }{ \displaystyle\sum_\lambda C_\lambda v_{\lambda x}^2 \left(1-\tau_{c,\lambda}/\tau_{N,\lambda}\right) }. \tag{14}\]直观图像：
- 分子：大致为所有由 N 过程启用的漂移型贡献的平方和。
- 分母：将分布从该漂移拉回的 R 过程总强度。
- 当 R 强、N 弱时，修正项趋于零，$\kappa_2\to 0$。
- 当 N 主导、R 弱时，$\kappa_2$ 显著增大，增强总热导率——类似于声子流体动力学行为。
7. 总结
-
出发点（BTE）： 温度梯度驱使声子占据数偏离平衡；碰撞项将系统拉向某种”准平衡态”。
- Callaway 的核心思想：
将平衡的概念分为两个层次：
- N 过程 → 创建漂移平衡 $n_{\lambda}^{(d)}$；
- R 过程 → 提供实际耗散，恢复真正的平衡 $n_{\lambda}^{(0)}$。
- 数学上：
- 定义偏移分布并做一阶展开；
- 引入组合弛豫时间 $\tau_c^{-1} = \tau_N^{-1} + \tau_R^{-1}$；
- 利用 N 过程的动量守恒条件确定漂移强度 $\beta$；
- 得到 $\kappa = \kappa_1 + \kappa_2$，其中
- $\kappa_1$：使用 $\tau_c$ 的类 RTA 项；
- $\kappa_2$：N 过程的额外贡献。
- 极限情况：
- 弱 N 过程：$\tau_{N,\lambda} \to \infty$，$\kappa_2 \to 0$ → 退化为普通 RTA；
- 强 N 过程、弱 R 过程：$\kappa_2$ 变大 → 高热导率，声子流体动力学输运的特征。
参考文献：
[1] Phys. Rev. 113, 1046–1051 (1959).
[2] Phys. Rev. B 88, 144302 (2013).
[3] Phys. Rev. B 90, 035203 (2014).